Qual é a equação de uma esfera na forma padrão?

A resposta é: #x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0#,

Isso ocorre porque a esfera é o locus de todos
pontos #P(x,y,z)# no espaço cuja distância de #C(x_c,y_c,z_c)# é igual a r.

Para que possamos usar a fórmula da distância de #P# para #C#, isso diz:

#sqrt((x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2)=r# e entao:

#(x-x_c)^2+(y-y_c)^2+(z-z_c)^2=r^2#,

#x^2+2(x)(x_c) + x_c^2+y^2+2(y)(y_c)+y_c^2+z^2+2(z)(z_c)+z_c^2=r^2#,

#x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0#,

em que

#a=2x_c#;
#b=2y_c#;
#c=2z_c#;
#d=x_c^2+y_c^2+z_c^2-r^2#;

Assim:

#C(-a/2,-b/2,-c/2)#

e #r#, se existir, é:

#r=sqrt(x_c^2+y_c^2+z_c^2-d)#.

Se o centro estiver na Origem, a equação será:

#x^2+y^2+z^2=r^2#,