Qual é a integral de $\frac{1}{1 + x^{2}}$ $1 / (1 + x ^ 2)$ ?

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = {tan}^{- 1} x + C$ $int1/(1+x^2)dx=tan^-1x+C$

$\int \frac{d u}{1 + u^{2}} = {tan}^{- 1} u + C$ $color(blue)(int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C$ $\to$ $rarr$ onde $u$ $u$ é uma função de $x$ $x$

$Proof:$ $color(red)("Proof:")$

$\int \frac{d u}{1 + u^{2}}$ $int(du)/(1+u^2)$

$u = tan θ$ $u=tantheta$ $\to$ $rarr$ $d u = {sec}^{2} θ d (θ)$ $du=sec^2thetad(theta)$

$\int \frac{d u}{1 + u^{2}} = \int \frac{{sec}^{2} θ d (θ)}{1 + {tan}^{2} θ}$ $int(du)/(1+u^2)=int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta$

${sec}^{2} θ = 1 + {tan}^{2} θ$ $color(green)(sec^2theta=1+tan^2theta$

$int(sec^2thetad(theta))/(1+tan^2theta)=int((cancel(1+tan^2theta))d(theta))/cancel(1+tan^2theta)$

$=intd(theta)=theta$

Inverter a substituição

$u=tantheta$ $color(red)(rarr$ $theta=tan^-1u$

$therefore int(du)/(1+u^2)=tan^-1u+C$

Simplesmente substituindo nesta relação

$int(dx)/(1+x^2)=tan^-1x+C$

Qual é a integral de 1 / (1 + x ^ 2) 11+x2 1 / (1 + x ^ 2) ?