Qual é a integral de $\int {sin}^{5} (x) d x$ $int sin ^ 5 (x) dx$ ?

A resposta é $= - \frac{1}{5} {cos}^{5} x + \frac{2}{3} {cos}^{3} x - cos x + C$ $=-1/5cos^5x+2/3cos^3x-cosx+C$

Precisamos

${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ $sin^2x+cos^2x=1$

A integral é

$\int {sin}^{5} d x = \int {(1 - {cos}^{2} x)}^{2} sin x d x$ $intsin^5dx=int(1-cos^2x)^2sinxdx$

Realize a substituição

$u = cos x$ $u=cosx$ , $\Rightarrow$ $=>$ , $d u = - sin x d x$ $du=-sinxdx$

Portanto,

$\int {sin}^{5} d x = - \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$ $intsin^5dx=-int(1-u^2)^2du$

$= - \int (1 - 2 u^{2} + u^{4}) d u$ $=-int(1-2u^2+u^4)du$

$= - \int u^{4} d u + 2 \int u^{2} d u - \int d u$ $=-intu^4du+2intu^2du-intdu$

$= - \frac{u^{5}}{5} + 2 \frac{u^{3}}{3} - u$ $=-u^5/5+2u^3/3-u$

$= - \frac{1}{5} {cos}^{5} x + \frac{2}{3} {cos}^{3} x - cos x + C$ $=-1/5cos^5x+2/3cos^3x-cosx+C$

Qual é a integral de int sin ^ 5 (x) dx ∫sin5(x)dxint sin ^ 5 (x) dx ?