Qual é a integral de $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ $x ^ 3 / (x ^ 2 + 1)$ ?

Responda:

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x = \frac{x^{2} - ln (x^{2} + 1)}{2} + C$ $intx^3/(x^2+1)dx =(x^2-ln(x^2+1))/2+C$

Explicação:

Nós vamos usar integração por substituição, bem como as integrais $\int \frac{1}{x} d x = ln | x | + C$ $int1/xdx = ln|x|+C$ e $\int 1 d x = x + C$ $int1dx = x+C$

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} x d x$ $intx^3/(x^2+1)dx = intx^2/(x^2+1)xdx$

$= \frac{1}{2} \int \frac{(x^{2} + 1) - 1}{x^{2} + 1} 2 x d x$ $=1/2int((x^2+1)-1)/(x^2+1)2xdx$

Deixei $u = x^{2} + 1 \Rightarrow d u = 2 x d x$ $u = x^2 + 1 => du = 2xdx$ . em seguida

$\frac{1}{2} \int \frac{(x^{2} + 1) - 1}{x^{2} + 1} 2 x d x = \frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$ $1/2int((x^2+1)-1)/(x^2+1)2xdx = 1/2int(u-1)/udu$

$= \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{u}) d u$ $=1/2int(1-1/u)du$

$= \frac{1}{2} (u - ln | u |) + C$ $=1/2(u-ln|u|)+C$

$= \frac{x^{2} + 1}{2} - \frac{ln (x^{2} + 1)}{2} + C$ $=(x^2+1)/2-ln(x^2+1)/2+C$

$= \frac{x^{2}}{2} - \frac{ln (x^{2} + 1)}{2} + \frac{1}{2} + C$ $=x^2/2-ln(x^2+1)/2 + 1/2 + C$

$= \frac{x^{2} - ln (x^{2} + 1)}{2} + C$ $=(x^2-ln(x^2+1))/2+C$

(Observe que, como $C$ $C$ é uma constante arbitrária, podemos desconsiderar a $\frac{1}{2}$ $1/2$ como fizemos na última etapa. Adicionar uma constante adicional não faz diferença quando já estamos considerando todas as funções dessa forma que variam de acordo com uma constante.)

Qual é a integral de x ^ 3 / (x ^ 2 + 1) x3x2+1 x ^ 3 / (x ^ 2 + 1) ?

Responda:

Explicação:

Qual é a integral de $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ $x ^ 3 / (x ^ 2 + 1)$ ?