Qual é a integral de # x ^ 3 / (x ^ 2 + 1) #?

Nós vamos usar integração por substituição, bem como as integrais #int1/xdx = ln|x|+C# e #int1dx = x+C#

#intx^3/(x^2+1)dx = intx^2/(x^2+1)xdx#

#=1/2int((x^2+1)-1)/(x^2+1)2xdx#

Deixei #u = x^2 + 1 => du = 2xdx#. em seguida

#1/2int((x^2+1)-1)/(x^2+1)2xdx = 1/2int(u-1)/udu#

#=1/2int(1-1/u)du#

#=1/2(u-ln|u|)+C#

#=(x^2+1)/2-ln(x^2+1)/2+C#

#=x^2/2-ln(x^2+1)/2 + 1/2 + C#

#=(x^2-ln(x^2+1))/2+C#

(Observe que, como #C# é uma constante arbitrária, podemos desconsiderar a #1/2# como fizemos na última etapa. Adicionar uma constante adicional não faz diferença quando já estamos considerando todas as funções dessa forma que variam de acordo com uma constante.)