Qual é a integral do #int tan ^ 4x dx #?

A solução de antiderivados trigonométricos geralmente envolve a quebra da integral para aplicar as identidades pitagóricas, e usando uma #u#-substituição. É exatamente o que faremos aqui.

Comece reescrevendo #inttan^4xdx# as #inttan^2xtan^2xdx#. Agora podemos aplicar a identidade pitagórica #tan^2x+1=sec^2x#ou #tan^2x=sec^2x-1#:
#inttan^2xtan^2xdx=int(sec^2x-1)tan^2xdx#
Distribuindo o #tan^2x#:
#color(white)(XX)=intsec^2xtan^2x-tan^2xdx#
Aplicando o regra de soma:
#color(white)(XX)=intsec^2xtan^2xdx-inttan^2xdx#

Avaliaremos essas integrais uma a uma.

Primeiro Integral
Este é resolvido usando um #u#-substituição:
Deixei #u=tanx#
#(du)/dx=sec^2x#
#du=sec^2xdx#
Aplicando a substituição,
#color(white)(XX)intsec^2xtan^2xdx=intu^2du#
#color(white)(XX)=u^3/3+C#
Porque #u=tanx#,
#intsec^2xtan^2xdx=(tan^3x)/3+C#

Segundo Integral
Desde que nós realmente não sabemos o que #inttan^2xdx# é apenas olhando para ele, tente aplicar o #tan^2=sec^2x-1# identidade novamente:
#inttan^2xdx=int(sec^2x-1)dx#
Usando a regra da soma, a integral se resume a:
#intsec^2xdx-int1dx#
O primeiro deles, #intsec^2xdx#, é apenas #tanx+C#. O segundo, a chamada "integral perfeita", é simplesmente #x+C#. Juntando tudo, podemos dizer:
#inttan^2xdx=tanx+C-x+C#
E porque #C+C# é apenas mais uma constante arbitrária, podemos combiná-la em uma constante geral #C#:
#inttan^2xdx=tanx-x+C#

Combinando os dois resultados, temos:
#inttan^4xdx=intsec^2xtan^2xdx-inttan^2xdx=((tan^3x)/3+C)-(tanx-x+C)=(tan^3x)/3-tanx+x+C#

Novamente, porque #C+C# é uma constante, podemos juntá-los em um #C#.