Qual é a integral do $\int {tan}^{4} x d x$ $int tan ^ 4x dx$ ?

Responda:

$\frac{{tan}^{3} x}{3} - tan x + x + C$ $(tan^3x)/3-tanx+x+C$

Explicação:

A solução de antiderivados trigonométricos geralmente envolve a quebra da integral para aplicar as identidades pitagóricas, e usando uma $u$ $u$ -substituição. É exatamente o que faremos aqui.

Comece reescrevendo $\int {tan}^{4} x d x$ $inttan^4xdx$ as $\int {tan}^{2} x {tan}^{2} x d x$ $inttan^2xtan^2xdx$ . Agora podemos aplicar a identidade pitagórica ${tan}^{2} x + 1 = {sec}^{2} x$ $tan^2x+1=sec^2x$ ou ${tan}^{2} x = {sec}^{2} x - 1$ $tan^2x=sec^2x-1$ :
$\int {tan}^{2} x {tan}^{2} x d x = \int ({sec}^{2} x - 1) {tan}^{2} x d x$ $inttan^2xtan^2xdx=int(sec^2x-1)tan^2xdx$
Distribuindo o ${tan}^{2} x$ $tan^2x$ :
$X X = \int {sec}^{2} x {tan}^{2} x - {tan}^{2} x d x$ $color(white)(XX)=intsec^2xtan^2x-tan^2xdx$
Aplicando o regra de soma:
$X X = \int {sec}^{2} x {tan}^{2} x d x - \int {tan}^{2} x d x$ $color(white)(XX)=intsec^2xtan^2xdx-inttan^2xdx$

Avaliaremos essas integrais uma a uma.

Primeiro Integral
Este é resolvido usando um $u$ $u$ -substituição:
Deixei $u = tan x$ $u=tanx$
$\frac{d u}{d x} = {sec}^{2} x$ $(du)/dx=sec^2x$
$d u = {sec}^{2} x d x$ $du=sec^2xdx$
Aplicando a substituição,
$X X \int {sec}^{2} x {tan}^{2} x d x = \int u^{2} d u$ $color(white)(XX)intsec^2xtan^2xdx=intu^2du$
$X X = \frac{u^{3}}{3} + C$ $color(white)(XX)=u^3/3+C$
Porque $u = tan x$ $u=tanx$ ,
$\int {sec}^{2} x {tan}^{2} x d x = \frac{{tan}^{3} x}{3} + C$ $intsec^2xtan^2xdx=(tan^3x)/3+C$

Segundo Integral
Desde que nós realmente não sabemos o que $\int {tan}^{2} x d x$ $inttan^2xdx$ é apenas olhando para ele, tente aplicar o ${tan}^{2} = {sec}^{2} x - 1$ $tan^2=sec^2x-1$ identidade novamente:
$\int {tan}^{2} x d x = \int ({sec}^{2} x - 1) d x$ $inttan^2xdx=int(sec^2x-1)dx$
Usando a regra da soma, a integral se resume a:
$\int {sec}^{2} x d x - \int 1 d x$ $intsec^2xdx-int1dx$
O primeiro deles, $\int {sec}^{2} x d x$ $intsec^2xdx$ , é apenas $tan x + C$ $tanx+C$ . O segundo, a chamada "integral perfeita", é simplesmente $x + C$ $x+C$ . Juntando tudo, podemos dizer:
$\int {tan}^{2} x d x = tan x + C - x + C$ $inttan^2xdx=tanx+C-x+C$
E porque $C + C$ $C+C$ é apenas mais uma constante arbitrária, podemos combiná-la em uma constante geral $C$ $C$ :
$\int {tan}^{2} x d x = tan x - x + C$ $inttan^2xdx=tanx-x+C$

Combinando os dois resultados, temos:
$\int {tan}^{4} x d x = \int {sec}^{2} x {tan}^{2} x d x - \int {tan}^{2} x d x = (\frac{{tan}^{3} x}{3} + C) - (tan x - x + C) = \frac{{tan}^{3} x}{3} - tan x + x + C$ $inttan^4xdx=intsec^2xtan^2xdx-inttan^2xdx=((tan^3x)/3+C)-(tanx-x+C)=(tan^3x)/3-tanx+x+C$

Novamente, porque $C + C$ $C+C$ é uma constante, podemos juntá-los em um $C$ $C$ .

Qual é a integral do ∫tan4xdxint tan ^ 4x dx ?

Responda:

Explicação:

Qual é a integral do $\int {tan}^{4} x d x$ $int tan ^ 4x dx$ ?