Qual é a integral indefinida de $ln (1 + x)$ ?

$(x+1)ln(1+x)-x+C$

Nós temos:

$I=intln(1+x)dx$

Nós vamos usar Integração por partes, que assume a forma:

$intudv=uv-intvdu$

Então, para $intln(1+x)dx$ , deixei:

${(u=ln(1+x)" "=>" "du=1/(1+x)dx),(dv=dx" "=>" "v=x):}$

Ajustando isso à fórmula de integração por partes:

$I=xln(1+x)-intx/(1+x)dx$

Ao integrar o segundo bit, é possível dividir por muito tempo, mas isso é mais simples:

$I=xln(1+x)-int(1+x-1)/(1+x)dx$

$I=xln(1+x)-int((1+x)/(1+x)-1/(1+x))dx$

$I=xln(1+x)-int(1-1/(1+x))dx$

$I=xln(1+x)-intdx+int1/(1+x)dx$

Ambos são integrais bastante simples:

$I=xln(1+x)-x+ln(1+x)+C$

Factoring $ln(1+x)$ :

$I=(x+1)ln(1+x)-x+C$

Qual é a integral indefinida de ln (1 + x) ln (1 + x) ?