Qual é a integral indefinida de #ln (1 + x) #?

Nós temos:

#I=intln(1+x)dx#

Nós vamos usar Integração por partes, que assume a forma:

#intudv=uv-intvdu#

Então, para #intln(1+x)dx#, deixei:

#{(u=ln(1+x)" "=>" "du=1/(1+x)dx),(dv=dx" "=>" "v=x):}#

Ajustando isso à fórmula de integração por partes:

#I=xln(1+x)-intx/(1+x)dx#

Ao integrar o segundo bit, é possível dividir por muito tempo, mas isso é mais simples:

#I=xln(1+x)-int(1+x-1)/(1+x)dx#

#I=xln(1+x)-int((1+x)/(1+x)-1/(1+x))dx#

#I=xln(1+x)-int(1-1/(1+x))dx#

#I=xln(1+x)-intdx+int1/(1+x)dx#

Ambos são integrais bastante simples:

#I=xln(1+x)-x+ln(1+x)+C#

Factoring #ln(1+x)#:

#I=(x+1)ln(1+x)-x+C#