Qual é a raiz quadrada do 89?

Responda:

A raiz quadrada de $89$ $89$ é um número que ao quadrado dá $89$ $89$ .

$\sqrt{89} \approx 9.434$ $sqrt(89) ~~ 9.434$

Explicação:

Desde $89$ $89$ é primo, $\sqrt{89}$ $sqrt(89)$ não pode ser simplificado.

Você pode aproximar usando um método de Newton Raphson.

Eu gosto de reformular um pouco da seguinte forma:

Deixei $n = 89$ $n = 89$ seja o número do qual você deseja a raiz quadrada.

Escolha $p_{0} = 19$ $p_0 = 19$ , $q_{0} = 2$ $q_0 = 2$ de modo a $\frac{p_{0}}{q_{0}}$ $p_0/q_0$ é uma aproximação racional razoável. Eu escolhi esses valores particulares desde $89$ $89$ está a meio caminho entre $9^{2} = 81$ $9^2 = 81$ e $10^{2} = 100$ $10^2 = 100$ .

Itere usando as fórmulas:

$p_{i + 1} = p_{i}^{2} + n q_{i}^{2}$ $p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2$

$q_{i + 1} = 2 p_{i} q_{i}$ $q_(i+1) = 2 p_i q_i$

Isso dará uma melhor aproximação racional.

Assim:

$p_{1} = p_{0}^{2} + n q_{0}^{2} = 19^{2} + 89 \cdot 2^{2} = 361 + 356 = 717$ $p_1 = p_0^2 + n q_0^2 = 19^2 + 89 * 2^2 = 361+356 = 717$

$q_{1} = 2 p_{0} q_{0} = 2 \cdot 19 \cdot 2 = 76$ $q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76$

Portanto, se parássemos aqui, teríamos uma aproximação:

$\sqrt{89} \approx \frac{717}{76} \approx 9.434$ $sqrt(89) ~~ 717/76 ~~ 9.434$

Vamos dar mais um passo:

$p_{2} = p_{1}^{2} + n q_{1}^{2} = 717^{2} + 89 \cdot 76^{2} = 514089 + 514064 = 1028153$ $p_2 = p_1^2 + n q_1^2 = 717^2 + 89 * 76^2 = 514089 + 514064 = 1028153$

$q_{2} = 2 p_{1} q_{1} = 2 \cdot 717 \cdot 76 = 108984$ $q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984$

Então, temos uma aproximação:

$\sqrt{89} \approx \frac{1028153}{108984} \approx 9.43398113$ $sqrt(89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113$

Esse método de Newton Raphson converge rapidamente.

$color(white)()$
Na verdade, uma boa aproximação simples para $\sqrt{89}$ $sqrt(89)$ is $\frac{500}{53}$ $500/53$ , Desde $500^{2} = 250000$ $500^2 = 250000$ e $89 \cdot 53^{2} = 250001$ $89 * 53^2 = 250001$

$\sqrt{89} \approx \frac{500}{53} \approx 9.43396$ $sqrt(89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396$

Se aplicarmos uma etapa de iteração a isso, obteremos uma melhor aproximação:

$\sqrt{89} \approx \frac{500001}{53000} \approx 9.4339811321$ $sqrt(89) ~~ 500001 / 53000 ~~ 9.4339811321$

$color(white)()$
Nota de rodapé

Todas as raízes quadradas de números inteiros positivos repetem expansões de fração contínuas, que você também pode usar para fornecer aproximações racionais.

No entanto, no caso de $\sqrt{89}$ $sqrt(89)$ a expansão contínua da fração é um pouco confusa, então não é tão agradável trabalhar com:

$sqrt(89) = [9; bar(2, 3, 3, 2, 18)] = 9+1/(2+1/(3+1/(3+1/(2+1/(18+1/(2+1/(3+...)))))))$

A aproximação $500/53$ acima é $[9; 2, 3, 3, 2]$