Qual é o raio de convergência da expansão da série MacLaurin para f (x) = sinh x f(x)=sinhx?
Responda:
R=ooR=∞
Explicação:
Vamos primeiro encontrar a expansão da série Maclaurin para sinhxsinhx:
f(x)=sinhx=(e^x-e^-x)/2, f(0)=(e^0-e^0)/2=0f(x)=sinhx=ex−e−x2,f(0)=e0−e02=0
f'(x)=coshx=(e^x+e^-x)/2, f'(0)=(e^0+e^0)/2=1
f''(x)=sinhx, f''(0)=0
f'''(x)=coshx, f'''(0)=1
f^((4))(x)=sinhx, f^((4))(0)=0
f^((5))(x)=coshx, f^((5))(0)=1
Então, vemos um padrão bastante consistente de zeros e uns alternados. Vamos escrever os primeiros termos da série:
A expansão da série Maclaurin é dada por
f(x)=sum_(n=0)^oof^((n))(0)x^n/(n!)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/(2!)+...
Então, para nossa função, temos
sinhx=0+x+0x^2+x^3/(3!)+0x^4+x^5/(5!)+...
Se ignorarmos os termos que envolvem zero, veremos
sinhx=x+x^3/(3!)+x^3/(3!)+...
Então, queremos expoentes e fatoriais ímpares começando em 1, então o somatório é
sinhx=sum_(n=0)^oox^(2n+1)/((2n+1)!)
Para encontrar o raio de convergência, usaremos o Teste de relação, em que
a_n=x^(2n+1)/((2n+1)!)
lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|=lim_(n->oo)|x^(2n+3)/((2n+3)!)*((2n+1)!)/x^(2n+1)|
Nós queremos que os fatoriais cancelem. Portanto, retire alguns termos do fatorial maior:
(2n+3)! = (2n+3)(2n+1)(2n+1)!
Então nós temos
lim_(n->oo)|(x^(2n+3)cancel((2n+1)!))/(x^(2n+1)(2n+3)(2n+2)cancel((2n+1)!))|
x^(2n+3)/x^(2n+1)=x^2
Assim,
|x^2|lim_(n->oo)1/((2n+3)(2n+2))<1 resulta em convergência.
O limite vai para 0. Assim, essa quantidade é sempre 0<1 independentemente do que escolhemos x. Temos convergência para todos os números reais, IE, R=oo