Se a linha tangente para y = f (x) em (6, 4) passa pelo ponto (0, 3), encontre f (6) ef '(6). o que é f (6) ef '(6)?

Responda:

Por favor veja abaixo. Observe que você não foi solicitado a encontrar $f(x)$ . Mas eu fiz isso para que você entendesse melhor os conceitos. Não importa de que forma a função de $f(x)$ tem $f(6)=4$ .

Explicação:

Vamos primeiro encontrar a equação da linha tangente a partir das coordenadas dos dois pontos dados.

$m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(3-4)/(0-6)=(-1)/(-6)=1/6$

$y=mx+b$

Nós conectamos as coordenadas do ponto de tangência para resolver $b$ :

$4=(1/6)(6)+b$

$4=1+b$

$b=4-1=3$

A equação da reta tangente é:

$y=1/6x+3$

Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva, pegamos a derivada da função da curva e a avaliamos com as coordenadas do ponto de tangência.

Isto significa que $f'(6)=m=1/6$ que é a inclinação da linha tangente.

Portanto, uma solução seria:

$f'(x)=1/x$

Agora, podemos pegar a integral dessa função para chegar à função da curva:

$f(x)=int(1/x)dx=lnx+C$

Podemos usar as coordenadas do ponto de tangência para resolver a constante de integração $C$ :

$4=ln6+C$

$C=4-ln6$

$f(x)=lnx+4-ln6$

$f(6)=ln6+4-ln6=4$

$f(6)$ é o $y$ valor do ponto cuja $x$ -coordenado é $6$ qual é o ponto de tangência.

Outra solução seria:

$f'(x)=x^2-6x+1/6$

Se ligarmos $6$ para $x$ Nós temos:

$f'(6)=(6)^2-6(6)+1/6=36-36+1/6=1/6$ que é a mesma inclinação da linha tangente que tínhamos antes.

Agora, se integrarmos essa função, chegamos à função de nossa curva que seria:

$f(x)=int(x^2-6x+1/6)dx=1/3x^3-3x^2+1/6x+C$

Agora, podemos usar as coordenadas do ponto de tangência para resolver $C$ :

$4=1/3(6)^3-3(6)^2+1/6(6)+C$

$4=72-108+1+C$

$C=39$

$f(x)=1/3x^3-3x^2+1/6x+39$

Na primeira solução, obtivemos uma função de logaritmo natural para a curva e, na segunda solução, obtivemos uma curva cúbica.

Como você pode ver, existem infinitas soluções.