Se a linha tangente para y = f (x) em (6, 4) passa pelo ponto (0, 3), encontre f (6) ef '(6). o que é f (6) ef '(6)?

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Vamos primeiro encontrar a equação da linha tangente a partir das coordenadas dos dois pontos dados.

#m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=(3-4)/(0-6)=(-1)/(-6)=1/6#

#y=mx+b#

Nós conectamos as coordenadas do ponto de tangência para resolver #b#:

#4=(1/6)(6)+b#

#4=1+b#

#b=4-1=3#

A equação da reta tangente é:

#y=1/6x+3#

Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva, pegamos a derivada da função da curva e a avaliamos com as coordenadas do ponto de tangência.

Isto significa que #f'(6)=m=1/6# que é a inclinação da linha tangente.

Portanto, uma solução seria:

#f'(x)=1/x#

Agora, podemos pegar a integral dessa função para chegar à função da curva:

#f(x)=int(1/x)dx=lnx+C#

Podemos usar as coordenadas do ponto de tangência para resolver a constante de integração #C#:

#4=ln6+C#

#C=4-ln6#

#f(x)=lnx+4-ln6#

#f(6)=ln6+4-ln6=4#

#f(6)# é o #y# valor do ponto cuja #x#-coordenado é #6# qual é o ponto de tangência.

Outra solução seria:

#f'(x)=x^2-6x+1/6#

Se ligarmos #6# para #x# Nós temos:

#f'(6)=(6)^2-6(6)+1/6=36-36+1/6=1/6# que é a mesma inclinação da linha tangente que tínhamos antes.

Agora, se integrarmos essa função, chegamos à função de nossa curva que seria:

#f(x)=int(x^2-6x+1/6)dx=1/3x^3-3x^2+1/6x+C#

Agora, podemos usar as coordenadas do ponto de tangência para resolver #C#:

#4=1/3(6)^3-3(6)^2+1/6(6)+C#

#4=72-108+1+C#

#C=39#

#f(x)=1/3x^3-3x^2+1/6x+39#

Na primeira solução, obtivemos uma função de logaritmo natural para a curva e, na segunda solução, obtivemos uma curva cúbica.

Como você pode ver, existem infinitas soluções.