Um retângulo é inscrito em um triângulo equilátero para que um lado do retângulo fique na base do triângulo. Como encontro a área máxima do retângulo quando o triângulo tem comprimento lateral de 10?

Responda:

A = (25sqrt(3))/2

Explicação:

Primeiro, vamos olhar uma foto.

insira a fonte da imagem aqui

Algumas observações iniciais:

  • A área A do retângulo é A=bh.

  • Por simetria, a base do triângulo é de comprimento b+2te, portanto, como é de comprimento 10, temos b+2t = 10 => t = 5-b/2

  • Se decidirmos b que também determina he, assim, podemos escrever h como a função de b.

Escrever h como a função de b, podemos olhar para o triângulo retângulo com pernas t e h. Como ele compartilha um ângulo com um triângulo equilátero, sabemos que é um 30^@-60^@-90^@ triângulo, e assim t/h = 1/sqrt(3).
Resolvendo para h dá-nos h = sqrt(3)t = sqrt(3)(5-b/2) pela nossa observação inicial.

Em seguida, podemos reescrever nossa fórmula para a área como

A = b*sqrt3(5-b/2) = sqrt(3)(-1/2b^2 + 5b)

Se olharmos para o gráfico para A veremos que é uma parábola voltada para baixo e, portanto, terá um máximo no seu vértice. Então, podemos completar o quadrado para encontrar

A = sqrt(3)(-1/2b^2+5b)
= -sqrt(3)/2(b^2-10b)
= -sqrt(3)/2((b-5)^2-25)

E assim o vértice e, portanto, a área máxima, estão em b = 5.

Por fim, calculamos a área a partir disso para obter

A = -sqrt(3)/2((5-5)^2-25) = (25sqrt(3))/2