Um retângulo é inscrito em um triângulo equilátero para que um lado do retângulo fique na base do triângulo. Como encontro a área máxima do retângulo quando o triângulo tem comprimento lateral de 10?

Responda:

$A = (25sqrt(3))/2$

Explicação:

Primeiro, vamos olhar uma foto.

insira a fonte da imagem aqui

Algumas observações iniciais:

A área $A$ do retângulo é $A=bh$ .
Por simetria, a base do triângulo é de comprimento $b+2t$ e, portanto, como é de comprimento $10$ , temos $b+2t = 10 => t = 5-b/2$
Se decidirmos $b$ que também determina $h$ e, assim, podemos escrever $h$ como a função de $b$ .

Escrever $h$ como a função de $b$ , podemos olhar para o triângulo retângulo com pernas $t$ e $h$ . Como ele compartilha um ângulo com um triângulo equilátero, sabemos que é um $30^@$ - $60^@$ - $90^@$ triângulo, e assim $t/h = 1/sqrt(3)$ .
Resolvendo para $h$ dá-nos $h = sqrt(3)t = sqrt(3)(5-b/2)$ pela nossa observação inicial.

Em seguida, podemos reescrever nossa fórmula para a área como

$A = b*sqrt3(5-b/2) = sqrt(3)(-1/2b^2 + 5b)$

Se olharmos para o gráfico para $A$ veremos que é uma parábola voltada para baixo e, portanto, terá um máximo no seu vértice. Então, podemos completar o quadrado para encontrar

$A = sqrt(3)(-1/2b^2+5b)$
$= -sqrt(3)/2(b^2-10b)$
$= -sqrt(3)/2((b-5)^2-25)$

E assim o vértice e, portanto, a área máxima, estão em $b = 5$ .

Por fim, calculamos a área a partir disso para obter

$A = -sqrt(3)/2((5-5)^2-25) = (25sqrt(3))/2$