Uma escada 10 pés de comprimento repousa contra uma parede vertical. Se a parte inferior da escada deslizar para longe da parede a uma taxa de 0.8 pés / s, com que rapidez o ângulo entre a escada e o chão mudará quando a parte inferior da escada estiver a 8 pés da parede?

Denotando a distância em pés entre a parede e a base da escada, #x# e o ângulo em radianos entre a escada e o chão por #y#, observa-se

#cos(y) = x / 10#

que implica

#y = arccos(x/10)#

Denotando o tempo em segundos por t, note-se ainda que

#dy / dt = dy/dx dx/dt# (regra da cadeia)

Observando (usando tabela padrão de derivativos por conveniência)

#dy/dx = - 1 / (sqrt(1 - (0.1 x)^2)) (0.1)# (também pela regra da cadeia)

isso é

#dy/dx = - 0.1/(sqrt(1 - 0.01 x^2))#

Observa-se da pergunta que neste sistema em particular

#dx/dt = 0.8# pés por segundo

Então (denotando a derivada em função de #x#)

#dy/dt (x) = dy/dx dx/dt = - 0.08/(sqrt(1 - 0.01 x^2))#

So

#dy/dt (8) = dy/dx dx/dt = - 0.08/(sqrt(1 - 0.01 (64)))#

#= - 0.08/(sqrt(1 - 0.64)) = - 0.08/(sqrt(0.36))#

#- 0.08/0.6 = - 8/60 = - 2/15# radianos por segundo