Verdadeiro ou falso? Existe uma função f tal que f (1) = −5, f (6) = 0 ef '(x)> 1 para todos os x?
Responda:
É falso, veja os detalhes abaixo.
Explicação:
O teorema de Rolle afirma que, para qualquer função contínua diferenciável que tenha dois valores iguais em dois pontos distintos, a função deve ter um ponto na função em que a primeira derivada é zero.
É evidente que isso é diferente. Entretanto, observe que, se ajustarmos uma função linear a #f(1)=−5#, #f(6)=0#, isto é #f(x)=x-6#
No entanto, vamos agora considerar a função #h(x)=f(x)-g(x)#, De modo que #g(1)=-5# e #g(6)=-5#, mas entre valores de #g(x)# pode ser diferente de #f(x)# e depois #h(x)=x-6-g(x)#
Observe aquilo #h(1)=1-6-g(1)=-5-(-5)=0#
e #h(6)=6-6-g(6)=0#
e depois #h'(x)=1-g'(x)#
Conforme o teorema de Rolle em algum momento entre #x=1# e #x=6#, #h'(x)=0#
Nós teremos #1-g'(x)=0# ou seja #g'(x)=1#
Portanto, não podemos ter #g'(x)>1# em todos os pontos entre #x=1# e #x=6#.