Você pode me dar um exemplo de um número irracional entre #5 e 6? #

Desde a:

#5^2 = 25 < 26 < 36 = 6^2#

temos:

#5 < sqrt(26) < 6#

Para mostrar isso #sqrt(26)# é irracional, suponha:

#x = 5+1/(5+x)#

para alguns #x > 0#

Multiplicando ambos os lados por #5+x# isso se torna:

#5x+x^2 = 25+5x+1#

Subtraindo #5x# de ambos os lados, e simplificando, isso se torna:

#x^2 = 26#

Assim:

#x = sqrt(26)#

Então, mostramos:

#sqrt(26) = 5 + 1/(5+sqrt(26))#

#color(white)(sqrt(26)) = 5 + 1/(10+1/(10+1/(10+1/(10+...))))#

Como essa fração continuada não termina, não é expressável como uma fração final. Então é irracional.