Como você prova # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #?

Considere um triângulo retângulo com um ângulo interno #theta#:

Então:

#sin theta = a/c#

#cos theta = b/c#

Assim:

#sin^2 theta + cos^2 theta = a^2/c^2+b^2/c^2 = (a^2+b^2)/c^2#

Por Pitágoras #a^2+b^2 = c^2#, assim #(a^2+b^2)/c^2 = 1#

Então, dado Pitágoras, isso prova a identidade de #theta in (0, pi/2)#

Para ângulos fora desse intervalo, podemos usar:

#sin (theta + pi) = -sin (theta)#

#cos (theta + pi) = -cos (theta)#

#sin (- theta) = - sin(theta)#

#cos (- theta) = cos(theta)#

Então, por exemplo:

#sin^2 (theta + pi) + cos^2 (theta + pi) = (-sin theta)^2 + (-cos theta)^2 = sin^2 theta + cos^2 theta = 1#

#color(white)()#
Teorema de Pitágoras

Dado um triângulo retângulo com lados #a#, #b# e #c# considere o seguinte diagrama:

A área da grande praça é #(a+b)^2#

A área do pequeno quadrado inclinado é #c^2#

A área de cada triângulo é #1/2ab#

Então nós temos:

#(a+b)^2 = c^2 + 4 * 1/2ab#

Isto é:

#a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab#

Subtrair #2ab# de ambos os lados para obter:

#a^2+b^2 = c^2#