Como você encontra a série taylor series para #f (x) = lnx # em a = 2?

Use a expressão a seguir para a série Taylor de uma função infinitamente diferenciável em #x=a#:

#f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a))/(2!)(x-a)^2+(f'''(a))/(3!)(x-a)^3+(f''''(a))/(4!)(x-a)^4cdots#

Desde #f(x)=ln(x)#, Nós temos #f'(x)=1/x=x^{-1}#, #f''(x)=-x^{-2}#, #f'''(x)=2x^{-3}#, #f''''(x)=-6x^{-4}#, Etc ...

Desde #a=2#, calculamos #f(2)=ln(2)#, #f'(2)=1/2#, #f''(2)=-1/4#, #f'''(2)=2/8=1/4#, #f''''(2)=-6/16=-3/8#, Etc ...

Portanto, podemos escrever a resposta como

#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3-1/64(x-2)^4+cdots#

Esta série passa a ser igual #ln(x)# para #0 < x < 4# (o "raio de convergência" é 2 e também é igual à função desses valores).