Como você encontra a série Taylor de #f (x) = sin (x) #?

Série de Taylor #f(x)=sin(x)# at #x=0# is
#sum_{n=0}^{infty}(-1)^n{x^{2n+1}}/{(2n+1)!}#.

Série Taylor para #f(x)# at #x=a# pode ser encontrado por
#f(x)=sum_{n=0}^{infty}{f^{(n)}(a)}/{n!}x^n#

Então, precisamos encontrar derivadas de #f(x)=sin(x)#.
#f(x)=sin(x) Rightarrow f(0)=0#
#f'(x)=cos(x) Rightarrow f'(0)=1#
#f''(x)=-sin(x) Rightarrow f''(0)=0#
#f'''(x)=-cos(x) Rightarrow f'''(0)=-1#
#f^{(4)}(x)=sin(x) Rightarrow f^{(4)}(0)=0#
#cdots#

Desde #f^{(4)}(x)=f(x)#, o ciclo de {0, 1, 0, -1} se repete, o que significa que toda derivada de grau par fornece #0# e que toda derivada de grau ímpar alterna entre 1 e -1. Então nós temos
#f(x)={1}/{1!}x^1+{-1}/{3!}x^3+{1}/{5!}x^5+cdots#
#=sum_{n=0}^{infty}(-1)^n{x^{2n+1}}/{(2n+1)!}#

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