Como encontrar a integral de $\frac{1}{cos x}$ $1 / cosx$ ?

Você precisa usar a regra de bioche

Não o encontro em inglês, mas confie em mim, é MUITO útil.

As regras dizem, você precisa fazer $t = tan (\frac{x}{2})$ $t = tan(x/2)$

$cos (x) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \Rightarrow \frac{1}{cos (x)} = \frac{1 + t^{2}}{1 - t^{2}}$ $cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2) => 1/cos(x) = (1+t^2)/(1-t^2)$

$d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t$ $dx = 2/(1+t^2) dt$

Então agora temos:

$\int \frac{1 + t^{2}}{1 - t^{2}} \cdot \frac{2}{1 + t^{2}} d t = 2 \int \frac{1}{1 - t^{2}}$ $int(1+t^2)/(1-t^2)*2/(1+t^2) dt = 2int1/(1-t^2)$

$\frac{1}{1 - t^{2}}$ $1/(1-t^2)$ é exatamente o derivado de $arctan h (t)$ $arctanh(t)$

Como se lembrar desse derivado facilmente?

$θ = arctan h (t)$ $theta = arctanh(t)$

$\Rightarrow tanh (θ) = t$ $=>tanh(theta) = t$

Derivar ambos os lados

$\Rightarrow d θ (1 - {tanh}^{2} (θ)) = 1$ $=>d theta(1-tanh^2(theta)) = 1$

$\Rightarrow d θ = \frac{1}{1 - {tanh}^{2} (θ)}$ $=>d theta =1/(1-tanh^2(theta))$

mas $tanh (θ) = t$ $tanh (theta)= t$

Finalmente :

$\Rightarrow d θ = \frac{1}{1 - t^{2}}$ $=>d theta = 1/(1-t^2)$

Você pode fazer isso com arccos, arcsin, arctan ... usando pythagore

Portanto, a integral é:

$\Rightarrow [arctan h (t)] + C$ $=> [arctanh(t)]+C$

Substitua de volta por $t = tan (\frac{1}{2} x)$ $t = tan(1/2x)$

$\Rightarrow [arctan h (tan (\frac{1}{2} x))] + C$ $=>[arctanh(tan(1/2x))]+C$

Como encontrar a integral de 1 / cosx 1cosx 1 / cosx ?

Como encontrar a integral de $\frac{1}{cos x}$ $1 / cosx$ ?