Como você encontra a integral de #arccos (x) x #?

Aqui ,

#I=intarc cosx*xdx#

utilização Integração por partes:

#I=arc cosx intxdx-int(d/(dx)(arc cosx)intxdx)dx#

#I=arc cosx(x^2/2)-int(-1)/sqrt(1-x^2)xxx^2/2dx#

#I=x^2/2arc cosx+1/2intx^2/sqrt(1-x^2)dx#

#color(red)(I=x^2/2arc cosx+1/2I_1............to(A)#

Onde, # I_1=intx^2/sqrt(1-x^2)dx#

Subst. #color(blue)(x=sinu=>dx=cosudu#

Assim,

#I_1=intsin^2u/sqrt(1-sin^2u)cosudu#

#I_1=intsin^2u/cosucosudu#

#I_1=intsin^2udu#

#I_1=int(1-cos2u)/2du#

#I_1=1/2[u-(sin2u)/2]+c#

#I_1=1/2[u-sinucosu]+c#

#I_1=1/2[u-sinusqrt(1-sin^2u)]+c#

Subst. de volta #color(blue)(sinu=x and u=arcsinx#

#I_1=1/2[arc sinx-xsqrt(1-x^2)]+c#

Subst. valor de #I_1# para dentro #color(red)((A)# obtemos

#I=x^2/2arc cosx+1/2{1/2[arc sinx-xsqrt(1-x^2)]}+C#

#I=x^2/2arc cosx+1/4arc sinx-x/4sqrt(1-x^2)+C#