Qual é a derivada de # y = arccos (x) #?

A resposta é:

#dy/dx = -1/(sqrt(1-x^2))#

Essa identidade pode ser comprovada facilmente aplicando-se #cos# para ambos os lados da equação original:

1). #y = arccosx#

2). #cos y = cos(arccosx)#

3). #cos y = x#

Continuamos usando diferenciação implícita, lembrando-se de usar o regra da cadeia on #cosy#:

4). #-siny dy/dx = 1#

Resolva para #dy/dx#:

5). #dy/dx = -1/siny#

Agora, a substituição com nossa equação original produz #dy/dx# em termos de #x#:

6). #dy/dx = -1/sin(arccosx)#

No começo, isso pode não parecer tão bom assim, mas pode ser simplificado se alguém recordar a identidade
#sin(arccosx) = cos(arcsinx) = sqrt(1 - x^2)#.

7). #dy/dx = -1/sqrt(1 - x^2)#

Esta é uma boa definição para memorizar, juntamente com #d/dx[arcsin x]# e #d/dx[arctan x]#, uma vez que aparecem com frequência em problemas avançados de diferenciação.