Como você encontra a série taylor para ln (1 + x)?

Comece com o básico Séries geométricas:

#1/(1-x)=sum_(n=0)^oox^n#

substituindo #x# com #-x#:

#1/(1+x)=sum_(n=0)^oo(-x)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^n#

Observe que a integração #1/(1+x)# dá #ln(1+x)+C#:

#int_0^x1/(1+t)dt=sum_(n=0)^oo(-1)^nint_0^xt^ndt#

#ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)#

Deixando #x=0# mostra que #C=0#:

#ln(1+x)=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)#