Encontre os valores de m e b que tornam f contínuo em qualquer lugar: m =? b =?

Podemos ver que cada função individual será contínua em seus domínios.

Para garantir que a função seja contínua, precisamos encontrar os valores de #m# e #b# que tornam os valores das funções iguais em #x=-1# e #x=4#, onde o alternado alternadamente de uma função para outra.

Primeiro olhando para #x=-1#nós temos que fazer #(7+6x-x^2)/(x+1)# e #mx+b# igual a #x=-1#. Se eles tiverem o mesmo valor, a função será contínua lá.

At #x=-1#, nós vemos que #(7+6x-x^2)/(x+1)# é indefinido, mas podemos encontrar o limite em #-1# fatorando o numerador:

#lim_(xrarr-1)(7+6x-x^2)/(x+1)=lim_(xrarr-1)((7-x)(1+x))/(x+1)=lim_(xrarr-1)(7-x)=8#

Então, precisamos #mx+b# igualar #8# at #x=-1#. Isso é, #-m+b=8#.

Não podemos resolver explicitamente para #m# or #b# no entanto, também precisamos encontrar uma relação que garanta a continuidade no #x=4#, onde a função muda de #mx+b# para #2*2^(4-x)+16#.

At #x=4#, nós vemos que #mx+b# é igual a #4m+b# e a outra função é #2*2^0+16=18#. Então, #4m+b=18#.

Então, nós temos as duas relações de #m# e #b#:

#{(-m+b=8),(4m+b=18):}#

Resolver isso fornece:

#{(m=2),(b=10):}#