Qual é a derivada de # x ^ (lnx) #?

deixar #y =x^(lnx)#
Não existem regras que possamos aplicar para diferenciar facilmente essa equação; portanto, precisamos mexer nela até encontrarmos uma resposta.

Se tomarmos o logaritmo natural de ambos os lados, estamos mudando a equação. Podemos fazer isso desde que levemos em conta que essa será uma equação completamente nova:
#lny=ln(x^(lnx))#
#lny=(lnx)(lnx)#
Diferencie os dois lados:
#((dy)/(dx))*(1/y)=(lnx)(1/x)+(1/x)(lnx)#
#((dy)/(dx))=(2*y*lnx)/x#

Ok, agora terminamos de mexer com essa equação. Vamos voltar ao problema original:
#y =x^(lnx)#

Podemos reescrever isso como #y=e^[ln(x^(lnx))]# porque e ao poder de um log natural de algum número é esse mesmo número.
#y=e^[ln(x^(lnx))]#

Agora, vamos diferenciar isso usando a regra do expoente:
#(dy)/(dx) = d/dx[ln(x^(lnx))] * [e^[ln(x^(lnx))]]#

Convenientemente, já encontramos o primeiro termo acima, para que possamos simplificá-lo facilmente.
#(dy)/(dx) = [(2*y*lnx)/x] * [x^(lnx)]#
#(dy)/(dx)=(2*y*(lnx)*(x^(lnx)))/x#