Qual é a derivada de # e ^ (lnx) #?

Também podemos fazer isso sem primeiro usar a identidade #e^lnx=x#, embora tenhamos que usar isso eventualmente.

Observe que #d/dxe^x=e^x#, portanto, quando temos uma função no expoente, o regra da cadeia vai aplicar: #d/dxe^u=e^u*(du)/dx#.

Assim:

#d/dxe^lnx=e^lnx(d/dxlnx)#

A derivada de #lnx# is #1/x#:

#d/dxe^lnx=e^lnx(1/x)#

Então, usando a identidade #e^lnx=x#:

#d/dxe^lnx=x(1/x)=1#

O mesmo é a resposta que receberíamos se usássemos a identidade desde o início (que é o que eu recomendo que você faça - essa é apenas uma maneira divertida de mostrar que "o cálculo funciona".)

#d/dxe^lnx=d/dxx=1#