Como você encontra uma representação de séries de potências para # (arctan (x)) / (x) # e qual é o raio de convergência?

Conhecemos a representação de séries de poder de #1/(1-x) = sum_nx^n AAx# de tal modo que #absx < 1#. Assim #1/(1+x^2) = (arctan(x))' = sum_n (-1)^nx^(2n)#.

Então a série de poder de #arctan(x)# is #intsum_n (-1)^nx^(2n)dx = sum_n int(-1)^nx^(2n)dx = sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n+1)#.

Você o divide por #x#, você descobre que a série de poder de #arctan(x)/x# is #sum_n((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#. Digamos #u_n = ((-1)^n)/(2n+1)x^(2n)#

Para encontrar o raio de convergência desta série de potências, avaliamos #lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n#.

#(u_(n+1))/u_n = (-1)^(n+1)*x^(2n+2)/(2n+3)(2n+1)/((-1)^nx^(2n)) = -(2n+1)/(2n+3)x^2#.

#lim_(n -> +oo)abs((u_(n+1))/u_n) = abs(x^2)#. Então, se queremos que a série de potência converja, precisamos #abs(x^2) = absx^2 < 1#, então a série convergirá se #absx <1#, o que não é surpreendente, pois é o raio de convergência da representação de séries de potência de #arctan(x)#.