Como encontro a equação cartesiana de um plano contendo três pontos dados?

A equação cartesiana de um avião #P# is #ax + by + cz + d = 0#, Onde #a, b, c# são as coordenadas do vetor normal #vec n = ( (a), (b), (c) ) #

Deixei #A, B and C# ser três pontos não-colineares, #A, B, C in P#
Observe que #A, B and C# defina dois vetores #vec (AB)# e #vec (AC)# contido no avião #P#. Sabemos que o produto cruzado de dois vetores contidos em um plano define o vetor normal do plano.

Agora, podemos usar um exemplo para ilustrar a solução. Suponha que as coordenadas dos três pontos sejam as seguintes:
#A(1,2,3), B(-2,1,0)# e #C(0,3,2)#

Das coordenadas dos pontos #A, B# e #C# podemos encontrar os vetores #vec (AB)# e #vec (AC)#:

#vec (AB) = (x_b - x_a)*hat i + (y_b - y_a)*hat j + (z_b - z_a)*hat k#
#vec (AC) = (x_c - x_a)*hat i + (y_c - y_a)*hat j + (z_c - z_a)*hat k#
onde #hat i, hat j# e #hat k# são o vetores unitários nos eixos cartesianos de coordenadas #Ox, Oy# e #Oz#.

Depois de inserir os valores das coordenadas, temos:
#vec (AB) = (-2 - 1)*hat i + (1-2)*hat j + (0-3)*hat k#
Assim, #vec (AB) = -3 hat i - hat j -3 hat k#

#vec (AC) = (0-1)*hat i + (3-2)* hat j + (2-3)*hat k#.
Assim, #vec (AC) = -hat i + hat j - hat k#

A seguir, encontraremos o vetor normal do produto cruzado de #vec (AB)# e #vec (AC)#

#vec n = vec (AB)# x #vec (AC) = | (hat i,hat j,hat k),(-3,-1,-3),( -1,1,-1)|# #=# # 4 hat i - 4 hat k#

Portanto, a equação do plano é #4x-4z+d=0#. A fim de encontrar #d#, podemos conectar as coordenadas do ponto #A#:
#d= 4z - 4x => d = 4*3 - 4*1 = 8#

Então, a equação cartesiana do plano é #4x-4z+8=0#.