Como a velocidade instantânea difere da velocidade média?

O velocidade instantânea é a taxa específica de mudança de posição (ou deslocamento) em relação ao tempo em um único ponto (x,t), enquanto velocidade média é a taxa média de mudança de posição (ou deslocamento) em relação ao tempo durante um intervalo.

Graficamente, o velocidade instantânea em qualquer ponto em uma função x(t) é igual à inclinação do linha tangente para a função nesse local. Enquanto isso, o velocidade média é igual à inclinação do linha secante que cruza a função no início e no final do intervalo.

Normalmente, quando confrontado com um problema, será bastante evidente se a velocidade instantânea ou a velocidade média é necessária. Por exemplo, suponha que Timothy esteja se movendo por algum tipo de trilha. Suponha que a função de deslocamento de Timothy x(t) pode ser modelado como x(t) = t^2 - 5t + 4. Por uma questão de simplicidade, unidades específicas devem ser omitidas.

Se solicitado a encontrar a velocidade de Timothy em um determinado ponto, a velocidade instantânea se ajustaria melhor. Assim, em um determinado ponto (t_0, x_0), diferenciamos nossa função em relação a t. A regra do poder nos informa que x'(t) = 2t -5. (Lembre-se de que a derivada, ou taxa de variação, de posição (ou deslocamento) em relação ao tempo é simplesmente velocidade). Assim, para o nosso ponto dado, x'(t_0) = 2(t_0)-5

Se solicitado a encontrar a velocidade média de Timothy ao longo de b unidades de tempo (a partir de t=0), o cálculo é mais fácil, pois não precisamos de derivativos. Em vez disso, nossa velocidade média será representada pela diferença entre nossos x valores nos pontos finais, divididos pelas unidades de t. Em outras palavras, nossa fórmula geral de velocidade média em um intervalo entre t=a para t=b is

v_(avg) = [x(b)-x(a)]/(b-a)

Neste caso, v_(avg) = [x(b)-x(0)]/(b-0) = [x(b) - x_0]/b

Observe que isso leva à divisão por zero nos casos em que a=b. Como pode ser evidente, em tal evento, encontraremos a velocidade instantânea em vez da velocidade média.