Como você usa a lei dos cossenos para encontrar a área de um triângulo?

O área de um triângulo é definido como:

A lei dos cossenos é útil quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles, ou quando conhece os três lados. Vamos dar uma olhada em um triângulo genérico, ABC;

No caso de conhecer dois lados e um ângulo, digamos os lados aeb e o ângulo C, você simplesmente usaria a fórmula da área;

#area = (ab sin(C))/2#

e não há necessidade de usar a lei dos cossenos.

Portanto, vejamos o caso em que conhecemos os três lados de um triângulo, a, bec. Nesse caso, não podemos encontrar a altura usando sin (C). No entanto, podemos usar o teorema de Pitágoras.

Na segunda imagem acima, usaríamos o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento de #a sin(C)#, a altura do triângulo.

#(a sin(C))^2 = a^2 - (a cos(C))^2#

Agora usamos a lei dos cossenos para encontrar #cos(C)#. A lei dos cossenos é dada como;

#cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2)/ (2ab)#

então nós temos agora;

#(a sin(C))^2 = a^2 - (a ((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)))^2#

ou;

#a sin(C) = sqrt(a^2 - ((a^2 + b^2 - c^2)/(2b))^2)#

Não é bonito, mas podemos conectar esta equação à nossa equação de área para obter;

#Area = (b xx sqrt(a^2 - ((a^2 + b^2 - c^2)/(2b))^2))/2#

onde lado #b# é a base do triângulo e #a sin(C)# é a altura