Como você encontra os dois números reais positivos cuja soma é 40 e cujo produto é máximo?

O problema afirma que estamos procurando dois números #x# e #y# tal como #x+y=40#, isso é

#y=40-x#

Gostaríamos de descobrir onde o produto #x*y# é máximo, mas a partir da equação acima, podemos escrever:

#x*y=x*(40-x) = -x^2+40x#.

Então agora temos uma função de uma variável #f(x)=-x^2+40x#e deve encontrar um valor positivo de #x# onde a função #f# atinge um máximo.

Para isso, calculamos a derivada #f'(x)=-2x+40#e procuramos valores de #x# onde #f'(x)=-2x+40=0#. Existe apenas um desses valores (ponto crítico) com #x=20#.

Agora a segunda derivada #f''(x)=-2# é negativo em todos os lugares e, portanto, é negativo no ponto crítico #x=20#. Conseqüentemente, #x=20# é o máximo para #f#.

Mas também sabemos que #y=40-x#, então o valor de #y# É também #20#.

A solução é então #x=20, y=20#