Como a divisão sintética pode ser usada para fatorar um polinômio?

Aqui está um exemplo razoável de pré-cálculo de divisão sintética para ilustrar o conceito.

Digamos que você tivesse:

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 8$ $2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8$

Como Joan disse, há um aspecto de tentativa e erro nisso.

Observe todos os coeficientes e pense sobre o que fator comum pode ser.

Se você não receber um restante zero, o fator realmente não funcionará e você deve tentar novamente.
Se todos os fatores possíveis estiverem esgotados, talvez não seja fatorável.

Aqui, os fatores que você pode tentar incluem os que correspondem ao coeficiente de quarta ordem ( $2$ $2$ ) e o coeficiente de ordem zero ( $8$ $8$ ).

$8$ $8$ tem fatores de $1, 2, 4$ $1, 2, 4$ e $8$ $8$ .
$2$ $2$ tem fatores de $1$ $1$ e $2$ $2$ .

Portanto, os possíveis fatores podem ser considerados $\pm \frac{p}{q}$ $pmp/q$ , Onde $p$ $p$ consiste nos fatores do coeficiente de grau zero, e $q$ $q$ consiste nos fatores do mais alto grau de coeficiente.

Portanto, você pode ter fatores de:

$\pm [1, 2, 4, 8, \frac{1}{2}]$ $pm[1, 2, 4, 8, 1/2]$

Então você pode tentar tudo isso ( $\frac{2}{2}$ $2/2$ , $\frac{4}{2}$ $4/2$ e $\frac{8}{2}$ $8/2$ são duplicados). Lembre-se de que se $- a$ $-a$ é usado como está escrito no processo de divisão sintética no canto esquerdo, corresponde a $x + a$ $x+a$ .

Nós vamos usar $- 1$ $-1$ Aqui. Eu tendem a tentar $1$ $1$ e $- 1$ $-1$ primeiro, e suba em valor, e tente as frações por último.

$ul(-1|)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$

Drop down the $2$ e multiplique pelo $-1$ para obter $-2$ .

$ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$
$ul(" "" "" "" "-2" "" "" "" "" "" "" "" ")$
$" "" "color(white)(.)2$

Adicionar $-3$ e $-2$ , multiplique o resultante $-5$ by $-1$ novamente.

$ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$
$ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "" "" "" "" "" ")$
$" "" "color(white)(.)2" "-5$

Repita até terminar.

Adicionar $-3$ e $-2$ , multiplique o resultante $-1$ by $-1$ novamente.

$ul(-1 |)" "2" "-3" "-5" "" "3" "" "8$
$ul(" "" "" "" "-2" "" "5" "color(white)(.)" "0color(white)(.)" "-3" ")$
$" "" "color(white)(.)2" "-5" "" "0" "" "3" "" "5$

Sua resposta aqui é a seguinte, onde 2 corresponde a $2x^3$ , desde que você dividiu um polinômio de quarta ordem por um polinômio de primeira ordem.

Portanto, uma maneira de expressar o resultado é:

$(2x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 3x + 8)/(x+1)$

$= color(blue)(overbrace(2x^3 - 5x^2 + 0x + 3)^"Quotient Term" + overbrace(5/(x+1))^"Remainder Term")$

where the $5/(x+1)$ was written by saying that the last value below the horizontal bar (below $-2, 5, 0, -3$ ), being $5$ , is divided by the $x pm a$ equation such that $x pm a = 0$ . So, $x+1$ indicates that the factor we have just used is $-1$ .

(Naturalmente, se o restante for $0$ , você não possui a fração restante no final.)