Como a velocidade instantânea difere da velocidade média?

O velocidade instantânea é a taxa específica de mudança de posição (ou deslocamento) em relação ao tempo em um único ponto #(x,t)#, enquanto velocidade média é a taxa média de mudança de posição (ou deslocamento) em relação ao tempo durante um intervalo.

Graficamente, o velocidade instantânea em qualquer ponto em uma função #x(t)# é igual à inclinação do linha tangente para a função nesse local. Enquanto isso, o velocidade média é igual à inclinação do linha secante que cruza a função no início e no final do intervalo.

Normalmente, quando confrontado com um problema, será bastante evidente se a velocidade instantânea ou a velocidade média é necessária. Por exemplo, suponha que Timothy esteja se movendo por algum tipo de trilha. Suponha que a função de deslocamento de Timothy #x(t)# pode ser modelado como #x(t) = t^2 - 5t + 4#. Por uma questão de simplicidade, unidades específicas devem ser omitidas.

Se solicitado a encontrar a velocidade de Timothy em um determinado ponto, a velocidade instantânea se ajustaria melhor. Assim, em um determinado ponto #(t_0, x_0)#, diferenciamos nossa função em relação a #t#. A regra do poder nos informa que #x'(t) = 2t -5#. (Lembre-se de que a derivada, ou taxa de variação, de posição (ou deslocamento) em relação ao tempo é simplesmente velocidade). Assim, para o nosso ponto dado, #x'(t_0) = 2(t_0)-5#

Se solicitado a encontrar a velocidade média de Timothy ao longo de #b# unidades de tempo (a partir de #t=0#), o cálculo é mais fácil, pois não precisamos de derivativos. Em vez disso, nossa velocidade média será representada pela diferença entre nossos #x# valores nos pontos finais, divididos pelas unidades de #t#. Em outras palavras, nossa fórmula geral de velocidade média em um intervalo entre #t=a# para #t=b# is

#v_(avg) = [x(b)-x(a)]/(b-a)#

Neste caso, #v_(avg) = [x(b)-x(0)]/(b-0) = [x(b) - x_0]/b#

Observe que isso leva à divisão por zero nos casos em que #a=b#. Como pode ser evidente, em tal evento, encontraremos a velocidade instantânea em vez da velocidade média.