Como encontrar a integral de # 1 / cosx #?

Você precisa usar a regra de bioche

Règle de Bioche (em francês)

Não o encontro em inglês, mas confie em mim, é MUITO útil.

As regras dizem, você precisa fazer #t = tan(x/2)#

#cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2) => 1/cos(x) = (1+t^2)/(1-t^2)#

#dx = 2/(1+t^2) dt#

Então agora temos:

#int(1+t^2)/(1-t^2)*2/(1+t^2) dt = 2int1/(1-t^2)#

#1/(1-t^2)# é exatamente o derivado de #arctanh(t)#

Como se lembrar desse derivado facilmente?

#theta = arctanh(t)#

#=>tanh(theta) = t#

Derivar ambos os lados

#=>d theta(1-tanh^2(theta)) = 1#

#=>d theta =1/(1-tanh^2(theta))#

mas #tanh (theta)= t#

Finalmente :

#=>d theta = 1/(1-t^2)#

Você pode fazer isso com arccos, arcsin, arctan ... usando pythagore

Portanto, a integral é:

#=> [arctanh(t)]+C#

Substitua de volta por #t = tan(1/2x)#

#=>[arctanh(tan(1/2x))]+C#

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