Como você encontra a antiderivada mais geral da função para #f (x) = x - 7 #?

Responda:

#x^2/2-7x+C#

Explicação:

A antiderivada geral de #f(x)# is #F(x)+C#, Onde #F# é uma função diferenciável. Tudo o que isso significa é que, se você diferencia a antiderivada, obtém a função original - portanto, para encontrar a antiderivada, você reverte o processo de encontrar uma derivada.

Parece confuso? Mais fácil do que foi dito. O que estamos fazendo é pegar apenas a integral indefinida de #f(x)# - em outras palavras, #int x-7 dx#. As propriedades das integrais dizem que podemos dividi-las em pedaços nos casos de adição e subtração; portanto,

#intx-7dx = intxdx-int7dx#.

Além disso, usando as propriedades das integrais,

#intx-7dx = intxdx-7intdx#

Primeiro, vamos fazer #intxdx#. O que estamos nos perguntando é: qual função, quando você pega sua derivada, é igual a #x#? Bem, #x^2/2#, claro! Usando o regra de poder, multiplicamos a expressão pelo expoente e reduzimos o expoente por um; fazendo isso dá #2*(x^(2-1))/2 = x#. Portanto, nossa primeira integral se reduz a #x^2/2+C#.

Agora, por que o #C#? Colocamos o #C# (que é apenas uma constante - qualquer número antigo, como #2#, #sqrt(5)#e #pi#) porque estamos encontrando a antiderivada geral. Portanto, não sabemos se há outro número oculto em nossa antiderivada - por isso, colocamos o #C# lá para torná-lo geral e cobrir nossos traseiros.

Finalmente, avaliamos #7intdx#. Este (#intdx#) é chamada de integral perfeita porque seu resultado é simples #x#. Desde que nós temos um #7# diante disso, nosso resultado final é #7x+C# (nunca esqueça o #C#!).

Finalmente, podemos juntar nossas peças para a resposta final:

#intx-7dx = intxdx-int7dx#
#intx-7dx = (x^2/2 + C) - (7x + C#)
# = x^2/2 + C - 7x - C# (distribuindo o sinal negativo)

Você pode pensar #C-C = 0#, mas isso não está certo. Lembre-se que #C# is qualquer número - ambos. Então um #C# pode ser #4# e o outro pode ser #3#, nesse caso #C-C = 1# or #-1#. Mas, novamente, #1# e #-1# são constantes, certo? De fato, #C-C# sempre será uma constante, e desde #C# representa uma constante, podemos apenas chamar #C-C# normal #C#. Acredite em mim.

Assim, o resultado final é #x^2/2-7x+C#.

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