Como você encontra a constante a para que a função seja contínua em toda a linha real dada #f (x) = 4, #x <= -1 #, ax + b, -1 <x <1 e 6, #x > = 1 #?

Queremos encontrar #a# e #b# de tal modo que #f(x)# é contínuo:

# f(x)={ (4,x<=-1), (ax+b,-1 < x < 1), (6,x>=1) :} #

A rigor, queremos encontrar

# f(x)={ (4,x<=-1), (ax+b,-1 <= x <= 1), (6,x>=1) :} #

Pense no que sabemos até agora e como seria:

Então, para o intervalo intermediário, precisamos de uma linha reta passando #(-1,4)# e #(1,6)#

Essa linha teria o seguinte gradiente:
# m=(Delta y)/(Delta x) = (6-4)/(1-(-1)) = 2/2=1#
Espero que você também possa estabelecer isso por inspeção!

Portanto, nossa linha necessária passa por #(1,6)# (da mesma forma, você poderia a outra coordenada e obter a mesma resposta) e tem gradiente #m=1#, então usando #y-y_1=m(x-x_1)# a equação é:

# y -6 = (1)(x - 1) #
# :. y - 6 = x - 1 #
# :. y = x+5 #

Que podemos representar graficamente para confirmar

Por isso, temos #a=1# e #b=5# dando:

# f(x)={ (4,x<=-1), (x+5,-1 <= x <= 1), (6,x>=1) :} #