Como você encontra a linearização em a = 16 de #f (x) = x ^ (1 / 2) #?
Responda:
Use a fórmula #L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)# para obter #L(x)=4+1/8(x-16)=1/8x+2# como a linearização de #f(x)=x^{1/2}# at #a=16#.
Explicação:
Para se qualificar para o #f(x)=x^{1/2}# temos #f'(x)=1/2 x^{-1/2}# de modo a #f(a)=f(16)=16^{1/2}=4# e #f'(a)=f'(16)=1/2 * 16^{-1/2}=1/2 * 1/4 = 1/8#.
Portanto, a função #L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)=4+1/8(x-16)=1/8x+2# é a linearização de #f(x)=x^{1/2}# at #a=16#.
Isso pode ser usado para obter boas aproximações às raízes quadradas de números próximos ao 16. Por exemplo,
#sqrt{16.5}=f(16.5) approx L(16.4)=4+1/8(16.5-16)=4+1/8 * 1/2 = 4+ 1/16=4.0625#.
Uma aproximação mais precisa com a tecnologia é:
#sqrt{16.5} approx 4.062019202#.
O erro em nossa aproximação é sobre #4.062019202-4.0625 approx -0.00048#, o que é muito bom.