Como você encontra a série Maclaurin para o arctanx centrado em x = 0?
Responda:
arctanx=∞∑n=0(−1)nx2n+12n+1
Explicação:
Comece pela soma de um Séries geométricas, qual é:
∞∑n=0ξn=11−ξ
agora substitua: ξ=−t2 e nós temos:
∞∑n=0(−t2)n=11+t2
ou:
∞∑n=0(−1)nt2n=11+t2
Se integrarmos agora a série termo a termo, temos:
∞∑n=0∫x0(−1)nt2ndt=∫x0dt1+t2
No segundo membro, temos uma integral padrão:
∫x0dt1+t2=arctanx
então nós temos:
arctanx=∞∑n=0∫x0(−1)nt2ndt=∞∑n=0(−1)n[t2n+12n+1]x0
e finalmente:
arctanx=∞∑n=0(−1)nx2n+12n+1