Como você encontra a série Maclaurin para o `arctan x` centrado em x = 0?

Comece pela soma de um Séries geométricas, qual é:

`sum_(n=0)^oo xi^n = 1/(1-xi)`

agora substitua: `xi = -t^2` e nós temos:

`sum_(n=0)^oo (-t^2)^n = 1/(1+t^2)`

ou:

`sum_(n=0)^oo (-1)^nt^(2n) = 1/(1+t^2)`

Se integrarmos agora a série termo a termo, temos:

`sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = int_0^x (dt)/(1+t^2)`

No segundo membro, temos uma integral padrão:

`int_0^x (dt)/(1+t^2) = arctanx`

então nós temos:

`arctanx = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = sum_(n=0)^oo (-1)^n [t^(2n+1)/(2n+1)]_0^x`

e finalmente:

`arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)`