Como você encontra a série Maclaurin para o $arctan x$ $arctan x$ centrado em x = 0?

Responda:

$arctan x = \infty \sum n = 0 {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}$ $arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)$

Explicação:

Comece pela soma de um Séries geométricas, qual é:

$\infty \sum n = 0 ξ^{n} = \frac{1}{1 - ξ}$ $sum_(n=0)^oo xi^n = 1/(1-xi)$

agora substitua: $ξ = - t^{2}$ $xi = -t^2$ e nós temos:

$\infty \sum n = 0 {(- t^{2})}^{n} = \frac{1}{1 + t^{2}}$ $sum_(n=0)^oo (-t^2)^n = 1/(1+t^2)$

ou:

$\infty \sum n = 0 {(- 1)}^{n} t^{2 n} = \frac{1}{1 + t^{2}}$ $sum_(n=0)^oo (-1)^nt^(2n) = 1/(1+t^2)$

Se integrarmos agora a série termo a termo, temos:

$\infty \sum n = 0 \int_{0}^{x} {(- 1)}^{n} t^{2 n} d t = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t^{2}}$ $sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = int_0^x (dt)/(1+t^2)$

No segundo membro, temos uma integral padrão:

$\int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t^{2}} = arctan x$ $int_0^x (dt)/(1+t^2) = arctanx$

então nós temos:

$arctan x = \infty \sum n = 0 \int_{0}^{x} {(- 1)}^{n} t^{2 n} d t = \infty \sum n = 0 {(- 1)}^{n} {[\frac{t^{2 n + 1}}{2 n + 1}]}_{0}^{x}$ $arctanx = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = sum_(n=0)^oo (-1)^n [t^(2n+1)/(2n+1)]_0^x$

e finalmente:

$arctan x = \infty \sum n = 0 {(- 1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{2 n + 1}$ $arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)$

Como você encontra a série Maclaurin para o arctanxarctan x centrado em x = 0?

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Explicação:

Como você encontra a série Maclaurin para o $arctan x$ $arctan x$ centrado em x = 0?