Como você encontra a série Maclaurin para o arctanx centrado em x = 0?

Responda:

arctanx=n=0(1)nx2n+12n+1

Explicação:

Comece pela soma de um Séries geométricas, qual é:

n=0ξn=11ξ

agora substitua: ξ=t2 e nós temos:

n=0(t2)n=11+t2

ou:

n=0(1)nt2n=11+t2

Se integrarmos agora a série termo a termo, temos:

n=0x0(1)nt2ndt=x0dt1+t2

No segundo membro, temos uma integral padrão:

x0dt1+t2=arctanx

então nós temos:

arctanx=n=0x0(1)nt2ndt=n=0(1)n[t2n+12n+1]x0

e finalmente:

arctanx=n=0(1)nx2n+12n+1