Como você encontra a série Maclaurin para o #arctan x # centrado em x = 0?

Comece pela soma de um Séries geométricas, qual é:

#sum_(n=0)^oo xi^n = 1/(1-xi)#

agora substitua: #xi = -t^2# e nós temos:

#sum_(n=0)^oo (-t^2)^n = 1/(1+t^2)#

ou:

#sum_(n=0)^oo (-1)^nt^(2n) = 1/(1+t^2)#

Se integrarmos agora a série termo a termo, temos:

#sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = int_0^x (dt)/(1+t^2)#

No segundo membro, temos uma integral padrão:

#int_0^x (dt)/(1+t^2) = arctanx#

então nós temos:

#arctanx = sum_(n=0)^oo int_0^x (-1)^nt^(2n)dt = sum_(n=0)^oo (-1)^n [t^(2n+1)/(2n+1)]_0^x#

e finalmente:

#arctanx = sum_(n=0)^oo (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)#