Como você encontra a série taylor para ln (1 + x)?

Comece com o básico Séries geométricas:

1/(1-x)=sum_(n=0)^oox^n

substituindo x com -x:

1/(1+x)=sum_(n=0)^oo(-x)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^n

Observe que a integração 1/(1+x)ln(1+x)+C:

int_0^x1/(1+t)dt=sum_(n=0)^oo(-1)^nint_0^xt^ndt

ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)

Deixando x=0 mostra que C=0:

ln(1+x)=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)