Como você encontra a série taylor para ln (1 + x)?
Comece com o básico Séries geométricas:
1/(1-x)=sum_(n=0)^oox^n
substituindo x com -x:
1/(1+x)=sum_(n=0)^oo(-x)^n=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^n
Observe que a integração 1/(1+x) dá ln(1+x)+C:
int_0^x1/(1+t)dt=sum_(n=0)^oo(-1)^nint_0^xt^ndt
ln(1+x)=C+sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)
Deixando x=0 mostra que C=0:
ln(1+x)=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(n+1)/(n+1)