Como você encontra o valor exato de $arctan (2)$ $arctan (2)$ ?

Responda:

Este não é um número racional de graus, nem um múltiplo racional de $π$ $pi$ radianos.

Nós podemos escrever:

$arctan 2 = \frac{π}{2} - \infty \sum k = 0 {(- 1)}^{k} \frac{1}{2^{2 k + 1} (2 k + 1)}$ $arctan 2 = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))$

Explicação:

$arctan (2)$ $arctan(2)$ é um ângulo em um triângulo retângulo com lados $adjacent = 1$ $"adjacent" = 1$ , $opposite = 2$ $"opposite" = 2$ e $hypotenuse = \sqrt{5}$ $"hypotenuse" = sqrt(5)$ . Não é um múltiplo racional de $π$ $pi$ radianos nem um número racional de graus.

insira a fonte da imagem aqui

Podemos representá-lo como a soma de uma série infinita.

Observe que:

$arctan x = \infty \sum k = 0 {(- 1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{2 k + 1} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \frac{x^{9}}{9} - \frac{x^{11}}{11} + ...$ $arctan x =sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/(2k+1) = x - x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-x^11/11+...$

No entanto, isso só converge para $| x | \leq 1$ $abs(x) <= 1$ .

Para obter uma série que converge, podemos usar:

$tan (\frac{π}{2} - x) = \frac{1}{tan x}$ $tan (pi/2 - x) = 1/tan x$

Assim:

$arctan (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2} - arctan x$ $arctan(1/x) = pi/2 - arctan x$

e, portanto:

$arctan 2 = \frac{π}{2} - arctan (\frac{1}{2})$ $arctan 2 = pi/2 - arctan (1/2)$

$arctan 2 = \frac{π}{2} - \infty \sum k = 0 {(- 1)}^{k} \frac{1}{2^{2 k + 1} (2 k + 1)}$ $color(white)(arctan 2) = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))$

Como você encontra o valor exato de arctan(2)arctan (2) ?

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Explicação:

Como você encontra o valor exato de $arctan (2)$ $arctan (2)$ ?