Como você encontra o valor exato de #arctan (2) #?
Responda:
Este não é um número racional de graus, nem um múltiplo racional de #pi# radianos.
Nós podemos escrever:
#arctan 2 = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))#
Explicação:
#arctan(2)# é um ângulo em um triângulo retângulo com lados #"adjacent" = 1#, #"opposite" = 2# e #"hypotenuse" = sqrt(5)#. Não é um múltiplo racional de #pi# radianos nem um número racional de graus.
Podemos representá-lo como a soma de uma série infinita.
Observe que:
#arctan x =sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/(2k+1) = x - x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-x^11/11+...#
No entanto, isso só converge para #abs(x) <= 1#.
Para obter uma série que converge, podemos usar:
#tan (pi/2 - x) = 1/tan x#
Assim:
#arctan(1/x) = pi/2 - arctan x#
e, portanto:
#arctan 2 = pi/2 - arctan (1/2)#
#color(white)(arctan 2) = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))#