Como vocĂȘ encontra o valor exato de #arctan (2) #?

Responda:

Este nĂŁo Ă© um nĂșmero racional de graus, nem um mĂșltiplo racional de #pi# radianos.

NĂłs podemos escrever:

#arctan 2 = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))#

Explicação:

#arctan(2)# Ă© um Ăąngulo em um triĂąngulo retĂąngulo com lados #"adjacent" = 1#, #"opposite" = 2# e #"hypotenuse" = sqrt(5)#. NĂŁo Ă© um mĂșltiplo racional de #pi# radianos nem um nĂșmero racional de graus.

insira a fonte da imagem aqui

Podemos representå-lo como a soma de uma série infinita.

Observe que:

#arctan x =sum_(k=0)^oo (-1)^k x^(2k+1)/(2k+1) = x - x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-x^11/11+...#

No entanto, isso sĂł converge para #abs(x) <= 1#.

Para obter uma série que converge, podemos usar:

#tan (pi/2 - x) = 1/tan x#

Assim:

#arctan(1/x) = pi/2 - arctan x#

e, portanto:

#arctan 2 = pi/2 - arctan (1/2)#

#color(white)(arctan 2) = pi/2 - sum_(k=0)^oo (-1)^k 1/(2^(2k+1)(2k+1))#