Como você encontra os dois números reais positivos cuja soma é 40 e cujo produto é máximo?

Responda:

Você precisa primeiro encontrar uma função para representar o problema declarado e, em seguida, encontrar o máximo dessa função

Explicação:

O problema afirma que estamos procurando dois números $x$ $x$ e $y$ $y$ tal como $x + y = 40$ $x+y=40$ , isso é

$y = 40 - x$ $y=40-x$

Gostaríamos de descobrir onde o produto $x \cdot y$ $x*y$ é máximo, mas a partir da equação acima, podemos escrever:

$x \cdot y = x \cdot (40 - x) = - x^{2} + 40 x$ $x*y=x*(40-x) = -x^2+40x$ .

Então agora temos uma função de uma variável $f (x) = - x^{2} + 40 x$ $f(x)=-x^2+40x$ e deve encontrar um valor positivo de $x$ $x$ onde a função $f$ $f$ atinge um máximo.

Para isso, calculamos a derivada $f'(x)=-2x+40$ e procuramos valores de $x$ onde $f'(x)=-2x+40=0$ . Existe apenas um desses valores (ponto crítico) com $x=20$ .

Agora a segunda derivada $f''(x)=-2$ é negativo em todos os lugares e, portanto, é negativo no ponto crítico $x=20$ . Conseqüentemente, $x=20$ é o máximo para $f$ .

Mas também sabemos que $y=40-x$ , então o valor de $y$ É também $20$ .

A solução é então $x=20, y=20$