Como você escreve a equação da hipérbole dada a Foci: (-6,0), (6,0) e vértices (-4,0), (4,0)?

Responda:

Existem duas formas cartesianas padrão para a equação de uma hipérbole. Vou explicar como se sabe qual usar e como usá-lo na explicação.

Explicação:

A forma cartesiana padrão para a equação de uma hipérbole com um eixo transversal vertical é:

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1 [1]$ $(y - k)^2/a^2 - (x - h)^2/b^2 = 1" [1]"$

Seus vértices estão localizados nos pontos, $(h, k - a), and (h, k + a)$ $(h, k - a), and (h, k + a)$ .

Seus focos estão localizados nos pontos, $(h, k - \sqrt{a^{2} + b^{2}}), and (h, k + \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ $(h, k - sqrt(a^2 + b^2)), and (h, k + sqrt(a^2 + b^2))$ .

A forma cartesiana padrão para a equação de uma hipérbole com um eixo transversal horizontal é:

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 [2]$ $(x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1" [2]"$

Seus vértices estão localizados nos pontos, $(h - a, k), and (h + a, k)$ $(h- a, k), and (h + a, k)$ .

Seus focos estão localizados nos pontos, $(h - \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k), and (h + \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ $(h - sqrt(a^2 + b^2), k), and (h + sqrt(a^2 + b^2), k)$ .

Dado:

Foci: $(- 6, 0), (6, 0)$ $(-6, 0), (6,0)$
Vértices: $(- 4, 0), (4, 0)$ $(-4, 0), (4,0)$

Observe que são as coordenadas x dos vértices e focos que mudam, enquanto a coordenada y permanece fixa; isso corresponde ao tipo transversal horizontal, equação [2]. É assim que se sabe qual equação usar. Se fossem as coordenadas y que estavam mudando e as coordenadas x fossem fixas, seria a equação [1].

Podemos usar $(- 4, 0), (4, 0)$ $(-4, 0), (4,0)$ e $(h - a, k), (h + a, k)$ $(h- a, k), (h + a, k)$ para escrever as seguintes equações:

$k = 0 [3]$ $k = 0" [3]"$
$h - a = - 4 [4]$ $h - a = -4" [4]"$
$h + a = 4 [5]$ $h + a = 4" [5]"$

Para encontrar o valor de h, adicione a equação [4] à equação [5]:

$h - a + h + a = - 4 + 4$ $h - a + h + a = -4 + 4$
$2 h = 0$ $2h = 0$
$h = 0$ $h = 0$

Para encontrar o valor de a, subtraia a equação [4] da equação [5]:

$- h + a + h + a = 4 + 4$ $-h + a + h + a = 4 + 4$
$2 a = 8$ $2a = 8$
$a = 4$ $a = 4$

Usando, h = 0, a = 4, e o ponto $(6, 0)$ $(6,0)$ , podemos escrever a equação:

$6 = 0 + \sqrt{4^{2} + b^{2}}$ $6 = 0 + sqrt(4^2 + b^2)$

e depois resolva para b:

$36 = 16 + b^{2}$ $36 = 16 + b^2$
$b^{2} = 20$ $b^2 = 20$
$b = \sqrt{20}$ $b = sqrt(20)$
$b = 2 \sqrt{5}$ $b = 2sqrt(5)$

Substitua os valores para h, k, aeb na equação [2]:

$\frac{{(x - 0)}^{2}}{4^{2}} - \frac{{(y - 0)}^{2}}{{(2 \sqrt{5})}^{2}} = 1 [6]$ $(x - 0)^2/4^2 - (y - 0)^2/(2sqrt(5))^2 = 1" [6]"$

A equação [6] é a equação desejada.