Como você escreve a equação da hipérbole dada a Foci: (-6,0), (6,0) e vértices (-4,0), (4,0)?

A forma cartesiana padrão para a equação de uma hipérbole com um eixo transversal vertical é:

#(y - k)^2/a^2 - (x - h)^2/b^2 = 1" [1]"#

Seus vértices estão localizados nos pontos, #(h, k - a), and (h, k + a)#.

Seus focos estão localizados nos pontos, #(h, k - sqrt(a^2 + b^2)), and (h, k + sqrt(a^2 + b^2))#.

A forma cartesiana padrão para a equação de uma hipérbole com um eixo transversal horizontal é:

#(x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1" [2]"#

Seus vértices estão localizados nos pontos, #(h- a, k), and (h + a, k)#.

Seus focos estão localizados nos pontos, #(h - sqrt(a^2 + b^2), k), and (h + sqrt(a^2 + b^2), k)#.

Dado:

Foci: #(-6, 0), (6,0)#
Vértices: #(-4, 0), (4,0)#

Observe que são as coordenadas x dos vértices e focos que mudam, enquanto a coordenada y permanece fixa; isso corresponde ao tipo transversal horizontal, equação [2]. É assim que se sabe qual equação usar. Se fossem as coordenadas y que estavam mudando e as coordenadas x fossem fixas, seria a equação [1].

Podemos usar #(-4, 0), (4,0)# e #(h- a, k), (h + a, k)# para escrever as seguintes equações:

#k = 0" [3]"#
#h - a = -4" [4]"#
#h + a = 4" [5]"#

Para encontrar o valor de h, adicione a equação [4] à equação [5]:

#h - a + h + a = -4 + 4#
#2h = 0#
#h = 0#

Para encontrar o valor de a, subtraia a equação [4] da equação [5]:

#-h + a + h + a = 4 + 4#
#2a = 8#
#a = 4#

Usando, h = 0, a = 4, e o ponto #(6,0)#, podemos escrever a equação:

#6 = 0 + sqrt(4^2 + b^2)#

e depois resolva para b:

#36 = 16 + b^2#
#b^2 = 20#
#b = sqrt(20)#
#b = 2sqrt(5)#

Substitua os valores para h, k, aeb na equação [2]:

#(x - 0)^2/4^2 - (y - 0)^2/(2sqrt(5))^2 = 1" [6]"#

A equação [6] é a equação desejada.