Como você fatora # x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 #?
Responda:
#x^4+x^3+x^2+x+1#
#=(x^2+(1/2+sqrt(5)/2)x+1)(x^2+(1/2-sqrt(5)/2)x+1)#
Explicação:
Este quártico tem quatro zeros, que são o complexo não real #5#th raízes de #1#, como podemos ver em:
#(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) = x^5-1#
Portanto, se quisermos fatorar esse polinômio como um produto de fatores lineares com coeficientes complexos, poderíamos escrever:
#x^4+x^3+x^2+x+1#
#=(x-(cos((2pi)/5) + i sin((2pi)/5))) * (x-(cos((4pi)/5) + i sin((4pi)/5))) * (x-(cos((6pi)/5) + i sin((6pi)/5))) * (x-(cos((8pi)/5) + i sin((8pi)/5)))#
Uma abordagem algébrica mais limpa é observar que, devido à simetria dos coeficientes, se #x=r# é um zero de #x^4+x^3+x^2+x+1#, Em seguida #x=1/r# também é um zero.
Portanto, há uma fatoração na forma:
#x^4+x^3+x^2+x+1#
#=(x-r_1)(x-1/r_1)(x-r_2)(x-1/r_2)#
#=(x^2-(r_1+1/r_1)x+1)(x^2-(r_2+1/r_2)x+1)#
Então, vamos procurar uma fatoração:
#x^4+x^3+x^2+x+1#
#=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)#
#=x^4+(a+b)x^3+(2+ab)x^2+(a+b)x+1#
Equacionando coeficientes, encontramos:
#a+b = 1#
#2+ab=1#, so #ab = -1# and #b=-1/a#
Substituindo #b=-1/a# in #a+b=1# Nós temos:
#a-1/a = 1#
Conseqüentemente:
#a^2-a-1 = 0#
usando o Fórmula quadrática, podemos deduzir:
#a = 1/2 +- sqrt(5)/2#
Como nossa derivação foi simétrica em #a# e #b#, uma dessas raízes pode ser usada para #a# e o outro para #b#, encontrar:
#x^4+x^3+x^2+x+1#
#=(x^2+(1/2+sqrt(5)/2)x+1)(x^2+(1/2-sqrt(5)/2)x+1)#
Se quisermos fatorar mais, use a fórmula quadrática em cada um desses fatores quadráticos para encontrar os fatores lineares com coeficientes complexos.