Como você integra ${csc}^{3} x$ $csc ^ 3x$ ?

$\frac{- cot x csc x - ln (| cot x + csc x |)}{2} + C$ $(-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx)))/2+C$

Nós temos:

$I = \int {csc}^{3} x d x$ $I=intcsc^3xdx$

Nós vamos usar Integração por partes. Primeiro, reescreva a integral como:

$I = \int {csc}^{2} x csc x d x$ $I=intcsc^2xcscxdx$

Como a integração por peças assume a forma $\int u d v = u v - \int v d u$ $intudv=uv-intvdu$ , deixei:

${(u=cscx" "=>" "du=-cotxcscxdx),(dv=csc^2xdx" "=>" "v=-cotx):}$

Aplicando integração por partes:

$I=-cotxcscx-intcot^2xcscxdx$

Através da identidade pitagórica, escreva $cot^2x$ as $csc^2x-1$ .

$I=-cotxcscx-int(csc^2x-1)(cscx)dx$

$I=-cotxcscx-intcsc^3xdx+intcscxdx$

Observe que $I=intcsc^3xdx$ e $intcscxdx=-ln(abs(cotx+cscx))$ .

$I=-cotxcscx-I-ln(abs(cotx+cscx))$

Adicione a integral original $I$ para os dois lados.

$2I=-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx))$

Resolva para $I$ e adicione a constante de integração:

$I=(-cotxcscx-ln(abs(cotx+cscx)))/2+C$

Como você integra csc ^ 3x csc3x csc ^ 3x ?