Como você integra $sin (x) cos (x)$ ?

Dependendo da rota que você seguir, os resultados válidos incluem:

Existem vários métodos que podemos seguir:

Substituição por seno:

Deixei $u=sin(x)$ . Isso implica que $du=cos(x)dx$ .

Portanto:

$intunderbrace(sin(x))_uoverbrace(cos(x)dx)^(du)=intudu=u^2/2+C=color(blue)(sin^2(x)/2+C$

Substituição com cosseno:

Deixei $u=cos(x)$ , assim $du=-sin(x)dx$ .

Assim sendo:

$intsin(x)cos(x)dx=-intunderbrace(cos(x))_uoverbrace((-sin(x))dx)^(du)=-intudu=-u^2/2+C$

$=color(blue)(-cos^2(x)/2+C$

Breve interlúdio:

Você pode estar se perguntando, bem, por que essas duas respostas são válidas?

Observe que:

$sin^2(x)/2+C=(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+1/2+C$

No entanto, o $1/2$ é absorvido em $C$ as $C$ representa qualquer constante:

$=-cos^2(x)/2+C$

Mais um método usando a simplificação:

Vamos usar a identidade $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$ . Portanto, $sin(x)cos(x)=sin(2x)/2$ .

$intsin(x)cos(x)dx=intsin(2x)/2dx=1/2intsin(2x)dx$

Daqui, vamos $u=2x$ de modo a $du=2dx$ .

$=1/4intsinunderbrace((2x))_u overbrace((2)dx)^(du)=1/4intsin(u)du=-1/4cos(u)+C= color(blue)(-1/4cos(2x)+C$

Você também pode mostrar que isso é equivalente às outras duas respostas usando a identidade $cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)$ .

Como você integra sin (x) cos (x) sin (x) cos (x) ?