Como você integra #sin (x) cos (x) #?
Responda:
Dependendo da rota que você seguir, os resultados válidos incluem:
- #sin^2(x)/2+C#
- #-cos^2(x)/2+C#
- #-1/4cos(2x)+C#
Explicação:
Existem vários métodos que podemos seguir:
Substituição por seno:
Deixei #u=sin(x)#. Isso implica que #du=cos(x)dx#.
Portanto:
#intunderbrace(sin(x))_uoverbrace(cos(x)dx)^(du)=intudu=u^2/2+C=color(blue)(sin^2(x)/2+C#
Substituição com cosseno:
Deixei #u=cos(x)#, assim #du=-sin(x)dx#.
Assim sendo:
#intsin(x)cos(x)dx=-intunderbrace(cos(x))_uoverbrace((-sin(x))dx)^(du)=-intudu=-u^2/2+C#
#=color(blue)(-cos^2(x)/2+C#
Breve interlúdio:
Você pode estar se perguntando, bem, por que essas duas respostas são válidas?
Observe que:
#sin^2(x)/2+C=(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+1/2+C#
No entanto, o #1/2# é absorvido em #C# as #C# representa qualquer constante:
#=-cos^2(x)/2+C#
Mais um método usando a simplificação:
Vamos usar a identidade #sin(2x)=2sin(x)cos(x)#. Portanto, #sin(x)cos(x)=sin(2x)/2#.
#intsin(x)cos(x)dx=intsin(2x)/2dx=1/2intsin(2x)dx#
Daqui, vamos #u=2x# de modo a #du=2dx#.
#=1/4intsinunderbrace((2x))_u overbrace((2)dx)^(du)=1/4intsin(u)du=-1/4cos(u)+C= color(blue)(-1/4cos(2x)+C#
Você também pode mostrar que isso é equivalente às outras duas respostas usando a identidade #cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)#.