Como você integra #sin (x) cos (x) #?

Responda:

Dependendo da rota que você seguir, os resultados válidos incluem:

  • #sin^2(x)/2+C#
  • #-cos^2(x)/2+C#
  • #-1/4cos(2x)+C#

Explicação:

Existem vários métodos que podemos seguir:

Substituição por seno:

Deixei #u=sin(x)#. Isso implica que #du=cos(x)dx#.

Portanto:

#intunderbrace(sin(x))_uoverbrace(cos(x)dx)^(du)=intudu=u^2/2+C=color(blue)(sin^2(x)/2+C#

Substituição com cosseno:

Deixei #u=cos(x)#, assim #du=-sin(x)dx#.

Assim sendo:

#intsin(x)cos(x)dx=-intunderbrace(cos(x))_uoverbrace((-sin(x))dx)^(du)=-intudu=-u^2/2+C#

#=color(blue)(-cos^2(x)/2+C#

Breve interlúdio:

Você pode estar se perguntando, bem, por que essas duas respostas são válidas?

Observe que:

#sin^2(x)/2+C=(1-cos^2(x))/2+C=-cos^2(x)/2+1/2+C#

No entanto, o #1/2# é absorvido em #C# as #C# representa qualquer constante:

#=-cos^2(x)/2+C#

Mais um método usando a simplificação:

Vamos usar a identidade #sin(2x)=2sin(x)cos(x)#. Portanto, #sin(x)cos(x)=sin(2x)/2#.

#intsin(x)cos(x)dx=intsin(2x)/2dx=1/2intsin(2x)dx#

Daqui, vamos #u=2x# de modo a #du=2dx#.

#=1/4intsinunderbrace((2x))_u overbrace((2)dx)^(du)=1/4intsin(u)du=-1/4cos(u)+C= color(blue)(-1/4cos(2x)+C#

Você também pode mostrar que isso é equivalente às outras duas respostas usando a identidade #cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)#.

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