Como você prova $sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1$ ?

Veja a explicação ...

Considere um triângulo retângulo com um ângulo interno $theta$ :

insira a fonte da imagem aqui

Então:

$sin theta = a/c$

$cos theta = b/c$

Assim:

$sin^2 theta + cos^2 theta = a^2/c^2+b^2/c^2 = (a^2+b^2)/c^2$

Por Pitágoras $a^2+b^2 = c^2$ , assim $(a^2+b^2)/c^2 = 1$

Então, dado Pitágoras, isso prova a identidade de $theta in (0, pi/2)$

Para ângulos fora desse intervalo, podemos usar:

$sin (theta + pi) = -sin (theta)$

$cos (theta + pi) = -cos (theta)$

$sin (- theta) = - sin(theta)$

$cos (- theta) = cos(theta)$

Então, por exemplo:

$sin^2 (theta + pi) + cos^2 (theta + pi) = (-sin theta)^2 + (-cos theta)^2 = sin^2 theta + cos^2 theta = 1$

$color(white)()$
Teorema de Pitágoras

Dado um triângulo retângulo com lados $a$ , $b$ e $c$ considere o seguinte diagrama:

insira a fonte da imagem aqui

A área da grande praça é $(a+b)^2$

A área do pequeno quadrado inclinado é $c^2$

A área de cada triângulo é $1/2ab$

Então nós temos:

$(a+b)^2 = c^2 + 4 * 1/2ab$

Isto é:

$a^2+2ab+b^2 = c^2+2ab$

Subtrair $2ab$ de ambos os lados para obter:

$a^2+b^2 = c^2$

Como você prova sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 ?