Como você resolve a equação # dy / dx = (3x ^ 2) / (e ^ 2y) # que satisfaz a condição inicial #f (0) = 1 / 2 #?

A resposta é: #y=1/2ln(2x^3+e)#.

Primeiro de tudo, acho que há um erro na sua escrita, acho que você queria escrever:

#(dy)/(dx)=(3x^2)/e^(2y)#.

Esta é uma equação diferencial separável, portanto:

#e^(2y)dy=3x^2dxrArrinte^(2y)dy=int3x^2dxrArr#

#1/2e^(2y)=x^3+c#.

Agora para encontrar #c# vamos usar a condição: #f(0)=1/2#

#1/2e^(2*1/2)=0^3+crArrc=1/2e#.

Então a solução é:

#1/2e^(2y)=x^3+1/2erArre^(2y)=2x^3+erArr2y=ln(2x^3+e)rArr#

#y=1/2ln(2x^3+e)#.