Como você resolve essa questão de otimização?

Tome a primeira derivada com relação a #N:#

#y'=((1+N^2)k-kN(2N))/(1+N^2)^2#

#y'=(k+kN^2-2kN^2)/(1+N^2)^2#

#y'=(k-kN^2)/(1+N^2)^2#

Igual a #0# e resolver para #N#:

#(k-kN^2)/(1+N^2)^2=0#

#k(1-N^2)=0#

#1-N^2=0#

#N^2=1#

#N=+-1->N=1# é a única resposta possível, pois não podemos ter um nível de nitrogênio negativo.

O "melhor rendimento" implicaria #y# estar no seu máximo. Para garantir que #N=1# dá um máximo para #y#, Avalie #y'# nos seguintes intervalos:

#[0, 1), (1, oo)# para determinar se #y'# é positivo (#y# está aumentando) ou #y'# é negativo (#y# está diminuindo) em cada intervalo.

If #N=1# é o máximo, então #y'# será positivo antes de chegarmos #N=1# e negativo depois:

#[0,1):#

#y'(0)=(k-k(0))/1^2=k>0# Assim, #y# está aumentando em #[0, N)#

#(1, oo):#

#y'(2)=((k-4k)/(1+4)^2)=-(3k)/25<0# Assim, #y# está diminuindo em #(1, oo)# e o rendimento máximo possível da colheita acontece com #N=1#.