Como você resolve essa questão de otimização?

$N = 1$ $N=1$

Tome a primeira derivada com relação a $N :$ $N:$

$y'=((1+N^2)k-kN(2N))/(1+N^2)^2$

$y'=(k+kN^2-2kN^2)/(1+N^2)^2$

$y'=(k-kN^2)/(1+N^2)^2$

Igual a $0$ e resolver para $N$ :

$(k-kN^2)/(1+N^2)^2=0$

$k(1-N^2)=0$

$1-N^2=0$

$N^2=1$

$N=+-1->N=1$ é a única resposta possível, pois não podemos ter um nível de nitrogênio negativo.

O "melhor rendimento" implicaria $y$ estar no seu máximo. Para garantir que $N=1$ dá um máximo para $y$ , Avalie $y'$ nos seguintes intervalos:

$[0, 1), (1, oo)$ para determinar se $y'$ é positivo ( $y$ está aumentando) ou $y'$ é negativo ( $y$ está diminuindo) em cada intervalo.

If $N=1$ é o máximo, então $y'$ será positivo antes de chegarmos $N=1$ e negativo depois:

$[0,1):$

$y'(0)=(k-k(0))/1^2=k>0$ Assim, $y$ está aumentando em $[0, N)$

$(1, oo):$

$y'(2)=((k-4k)/(1+4)^2)=-(3k)/25<0$ Assim, $y$ está diminuindo em $(1, oo)$ e o rendimento máximo possível da colheita acontece com $N=1$ .