Como você simplifica #cos (2 tan ^ -1 x) #?
Responda:
Use a fórmula de ângulo duplo para remover o coeficiente dentro do cos e, em seguida, reorganize as definições trigonométricas padrão para fazer com que a função trigonométrica corresponda à função trigonométrica inversa dentro do suporte
Explicação:
Lembre-se da fórmula de ângulo duplo:
#cos2theta=1-2sin^2theta#
Então #cos(2arctanx)=1-2sin^2arctanx#. NB eu escrevi "arctan" aqui em vez de "#tan^(-1)#"porque a combinação de expoentes que significam poderes e funções inversas é potencialmente confusa.
Portanto, agora temos uma função trigonométrica de uma função trigonométrica inversa. Se pudermos expressar nossa #sin# em termos de #tan#, isso será cancelado imediatamente.
Por definição, #tantheta=(sintheta)/(costheta)=(sintheta)/sqrt(1-sin^2theta)#, assim
#tan^2theta(1-sin^2theta)=sin^2theta#
#tan^2theta=sin^2theta(1+tan^2theta)#
#sin^2theta=tan^2theta/(1+tan^2theta)#
Por definição, #tanarctanx=x#, assim #1-2sin^2arctanx# torna-se #1-(2x^2)/(1+x^2)#. Colocar isso sobre um denominador comum faz com que #(1-x^2)/(1+x^2)#.
So
#cos(2arctanx)=(1-x^2)/(1+x^2)#.